数　学必修④ · 人教A版新课标导学新课标导学


第三章三角恒等变换3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时　两角和与差的正弦、余弦


1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案


自主预习学案




和角、差角公式如下表：名称公式简记差的正弦sin(α－β)＝__________________________S(α－β)差的余弦cos(α－β)＝__________________________C(α－β)和的正弦sin(α＋β)＝__________________________S(α＋β)和的余弦cos(α＋β)＝__________________________C(α＋β)sinαcosβ－cosαsinβ　cosαcosβ＋sinαsinβ　sinαcosβ＋cosαsinβ　cosαcosβ－sinαsinβ　


[知识点拨]1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点(1)公式中的α、β均为任意角．(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例．(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．2．使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采纳整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.这也体现了数学中的整体原则．


1．sin(30°＋45°)＝__________．2．cos55°cos5°－sin55°sin5°＝_______．


A　


4．sin70°sin65°－sin20°sin25°＝__________．


互动探究学案


命题方向1　⇨公式的正用与逆用典例 1




『规律总结』　给角求值问题的策略：解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．




(α＋β)(2)由．α、β的范围，确定α－β，α＋β的范围，求出sin(α－β)、cos(α＋β)的值，再由2α＝(α－β)＋(α＋β)变形求值．0　典例 2
命题方向2　⇨给值求值[思路分析]　(1)先求出cosα，sinβ的值，再代入公式S






『规律总结』　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．




帮助角公式及其运用


B　典例 3




A　


由于角的范围过大致误 典例 4






[点评]　此类题目是给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)依据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．






A　


2．下列命题中不正确的是(　　)A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对于任意的α和β，都有cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ[解析]　若sinα或sinβ有一个为0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)则有cos(α＋β)＝cosαcosβ，故A、C、D正确，选B．B　


3．(2018·全国卷Ⅱ理，15)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．