数　学必修④ · 人教A版新课标导学新课标导学


第一章三角函数1.2　任意角的三角函数1.2.1　任意角的三角函数第2课时　三角函数线


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自主预习学案


江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向秀丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？




2．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．


过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的________线、________线、________线，统称为三角函数线．MP　OM　AT　正弦　余弦　正切　


[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的肯定值．


3．三角函数线的作用(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们常常采纳作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采纳比较三角函数线的方法，更加便利与直观．(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简洁的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．


1．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的(　　)A．正弦线是PM，正切线是A′T′B．正弦线是MP，正切线是A′T′C．正弦线是MP，正切线是ATD．正弦线是PM，正切线是ATC　


2．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是(　　)A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不肯定存在D　


3．已知α角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在(　　)A．第一象限角的平分线上B．第四象限角的平分线上C．其次、四象限角的平分线上D．第一、三象限角的平分线上C　


D　


互动探究学案


命题方向1　⇨利用三角函数线比较大小典例 1[思路分析]　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一看三角函数的长度，二看正负．




『规律总结』　利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．






2P2，M1P1(如右图)．由于M
1P1sin(－1654°)．
(2)先化为0°～360°间的角的三角函数．sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°．在单位圆中，分别作出sin75°和sin146°的正弦线M


命题方向2　⇨利用三角函数线求解不等式典例 2










利用三角函数线证明几何结论　　　　　设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sinα|OP|，∴sinα＋cosα>1．




错解函数的定义域 典例 4[错因分析]　因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示．


[思路分析]　解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集．取交集时，要注意各自解集中k的独立性．






B　1．下列四个命题：①α肯定时，单位圆中的正弦线肯定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同始终线上．其中不正确的有(　　)A．0个　　　B．1个　C．2个　　　D．3个[解析]　②有相同正弦线说明角的终边相同，但角不肯定相等，所以②错，①③④均正确．


2．已知角α是第四象限角，则角α的正弦线MP是下图中的(　　)A　


B