章末复习第一章　立体几何初步


学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.娴熟掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的直观图，能计算几何体的表面积与体积.


知识梳理达标检测题型探究内容索引


知识梳理


 名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都________S直棱柱侧＝Ch，C为底面的周长，h为高V＝Sh棱锥有一个面是 ，其余各面都是__________________的三角形S正棱锥侧＝ Ch′，C为底面的周长，h′为斜高V＝ Sh，h为高1.空间几何体的结构特征及其侧面积和体积相互平行四边形相互平行多边形公共顶点有一个


多面体棱台用一个________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S正棱台侧＝ (C＋C′)h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高V＝ (S上＋S下＋ )h，h为高旋转体圆柱以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高V＝Sh＝πr2h锥底面平行于棱矩形的一边


旋转体圆锥以直角三角形的 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝πrl，r为底面半径，h为高，l为母线V＝ Sh＝ πr2h圆台用______________的平面去截圆锥， 之间的部分S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线V＝ (S上＋S下＋ )h＝ π                         h一条直角边平行于圆锥底面底面和截面


旋转体球以 所在直线为旋转轴， 旋转一周形成的旋转体S球面＝4πR2，R为球的半径V＝ πR3半圆的直径半圆面


2.空间几何体的直观图(1)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.


(2)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段.②等积变换，如三棱锥转移顶点等.③简洁化简洁，把不规章几何体通过分割，补体化为规章的几何体等.


3.四个公理公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内. 公理2：过 的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 .公理4：平行于同一条直线的两条直线相互 .两点不在同一条直线上一条过该点的公共直线平行


4.直线与直线的位置关系 _____ 共面直线 ______ 异面直线：不同在______一个平面内，没有公共点平行任何相交


 判定性质定义定理图形条件________ ___________ _____________ ____________ ________结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b5.平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质a∩α＝∅aα，b⊈α，a∥ba∥α，aβ，α∩β＝ba∥α


(2)面面平行的判定与性质α∩β＝∅ 判定性质定义定理图形条件________________________________________________________________________α∥β，aβ结论α∥βα∥βa∥ba∥αaβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b


(3)空间中的平行关系的内在联系


6.垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直任意 图形条件结论判定a⊥b，bα(b为α内的 直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，nα，___________a⊥αa∥b，______b⊥αm∩n＝Oa⊥α


性质a⊥α，______a⊥ba⊥α，b⊥α______bαa∥b


(2)平面与平面垂直的判定与性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面相互垂直 ⇒α⊥β性质定理如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α垂线


(3)空间中的垂直关系的内在联系


7.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 叫作异面直线a，b所成的角(或夹角).②范围：设两异面直线所成角为θ，则 .(2)二面角的有关概念①二面角：从一条直线动身的 所组成的图形叫作二面角.②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.锐角(或直角)0°<θ≤90°两个半平面垂直于棱


误]√×√√√
1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n.(　 　)2.已知a，b是两异面直线，a⊥b，点P∉a且P∉b，肯定存在平面α，使P∈α，a∥α且b∥α.(　 　)3.平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系肯定是垂直.(　 　)4.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.(　 　)5.若m，n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则nα或n∥α.(　 　)[思考辨析 推断正


题型探究


型一　平行问题例1　如图所
示BC四边形A，D是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是
否A在一点F，使平面存FC∥平面PMD？
若存在，请确，点F的位置；若不定在存请说明.由理 解
答
类


思与(悟　感1)证明线线平行的依据①平面几何法(常
用的有三角形中位线、平行四边形对的平行)；②公理4；③线面平行边性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理.(2)证明
线面平行的依理；①定义；②线面平行的判定定据③面面平行的性质.(3)证明
面面平行的依①据定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质；④面面平行的
传递性.
反


示是四棱锥P－ABCD的底面，边长为8的正方形，四条侧棱长
均点2 .为G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明
：GH∥EF；证明
跟踪训练1　如图所


求H形GEF四边的面积.解
答
(2)若EB＝2，


型二　垂直问题例2　如图所
示AB在四棱锥P－，CD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明
：(1)CD⊥AE；证明　在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.证明
类


(2)PD⊥平面ABE.证明


思与　悟感(1)两条异面直线相互垂直的证明①法方定义；②线面垂直的性质.(2)直线和平面垂直的
证明面法①线面垂直的判定定理；②方面垂直的性质定理.(3)平面和平面相互垂直的
证明①定义；方法②面面垂直的判定定理.
反


恰好CBC的中点，且BC＝是A＝AA1.(1)求证
：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
证明跟踪训练2　如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影


：BC1⊥AB1.
证明(2)求证


型三　空间角问题例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点.(1)求证
：平面MNF⊥平面ENF；证明
类


正M－EF－N的二面角切值.解
答
(2)求


思与)悟　(1感面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是
证明的基本方法；(2)找
二面角的平面角的方法有以下两种棱①作：的垂面；②过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂
足作棱的垂线.
反


�
AB
：平面POD⊥平面PAC；
证明跟踪训练3　如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝ ，⊙O的直径AB＝2，C是 的中点，D为AC的中点.(1)证明


二面角B－PA－C的余弦值.
答(2)求
解


达标检测


示，观察正四个几何体，其中推断确A.①是棱台 B.②是圆台C.的是③是棱锥 D.④不是棱柱答案12345解析√
1.如图所


给出下列
四个说n①若m⊥α，法：∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中正
确说法的序②③是A.① B.号 C.③④ D.①④√
解析　②如果mγ，则m不平行于γ；③若m∥α，n∥α，则m，n相交，平行或异面，④若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行.1234解析答案52.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，


比解析答案为解析　设正方体棱长为a，S正方体表面积＝6a2，12345√
3.正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之


示O其中B′，′＝C′O′＝1，A′O′＝ ，那么原△ABC是一个A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等
腰形D.三角三边互不相等的三角形√
1234解析答案54.水平放置的△ABC的直观图如图所


：VB∥平面MOC；证明　由
于O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又由
于VB⊈平面MOC，OM平面MOC，所以VB∥平面MOC.
1234证明55.如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证


：平面MOC⊥平面VAB.证明　由
于AC＝BC，O为AB的中点，所�