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7.1 简洁几何体的侧面积第一章 §7 简洁几何体的面积和体积
学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的讨论，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培育空间想象能力和思维能力.
问题导学达标检测题型探究内容索引
问题导学
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
思考2 圆锥SO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 底面周长是2πr，利用扇形面积公式得S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).
思考3 圆台OO′及其侧面展开图如右，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝ (x＋l)×2πR－ x·2πr＝π[(R－r)x＋Rl ]＝π(r＋R)l，所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝_____侧面积：S侧＝______表面积：S＝_________圆锥底面积：S底＝____侧面积：S侧＝____表面积：S＝________梳理 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式2πrl2πr22πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l)
旋转体圆台上底面面积：S上底＝______下底面面积：S下底＝____侧面积：S侧＝____________表面积：S＝__________________πr2πr′2π(r′l＋rl)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积思考1 类比圆柱侧面积的求法，你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么？答案 利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积.展开图如图，不难求得S直棱柱侧＝ch.
思考2 正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积？答案 正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到S正棱锥侧＝ ch′.
思考3 下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能依据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？答案 S正棱台侧＝ n(a＋a′)h′＝ (c＋c′)h′.
梳理 棱柱、棱锥、棱台侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝c·hc—底面周长h—高正棱锥S正棱锥侧＝ c·h′c—底面周长h′—斜高
正棱台S正棱台侧＝ (c＋c′)·h′c、c′—上、下底面周长h′—斜高
[思考辨析 推断正误]1.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.( )2.多面体的表面积等于各个面的面积之和.( )3.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )×√×
题型探究
例1 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为多少.类型一 旋转体的侧面积(表面积)解答
反思与感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1 (1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为A.6π(4π＋3)B.8π(3π＋1)C.6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D.6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析答案√
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为A.1∶1 B.1∶2C.1∶3 D.1∶4解析答案√解析 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心.由于O1为PO2的中点，所以PA＝AB，O2B＝2O1A.又由于S圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧＝π·(O1A＋O2B)·AB，
类型二 多面体的侧面积(表面积)及应用例2 如图所示，已知六棱锥P -ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm.求六棱锥P -ABCDEF的表面积.解答
反思感悟 多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形.
跟踪训练2 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积.解答
类型三 组合体的侧面积(表面积)例3 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积.解答
反思与感悟 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响.(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
跟踪训练3 已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.解答
达标检测
1.一个圆锥的表面积为πa m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，12345答案解析√
12345答案解析√
233.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.451答案解析 设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.解析100π∴r＝2.故圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.
4.若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______.23451解析 设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，∵r∶R＝3∶8，∴r＝3，R＝8.S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π，则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.216π答案解析
5.正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积.解答23451
的相圆识求解.3.S关知柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).规律与方法
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相像
学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的讨论，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培育空间想象能力和思维能力.
问题导学达标检测题型探究内容索引
问题导学
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
思考2 圆锥SO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 底面周长是2πr，利用扇形面积公式得S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).
思考3 圆台OO′及其侧面展开图如右，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝ (x＋l)×2πR－ x·2πr＝π[(R－r)x＋Rl ]＝π(r＋R)l，所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝_____侧面积：S侧＝______表面积：S＝_________圆锥底面积：S底＝____侧面积：S侧＝____表面积：S＝________梳理 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式2πrl2πr22πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l)
旋转体圆台上底面面积：S上底＝______下底面面积：S下底＝____侧面积：S侧＝____________表面积：S＝__________________πr2πr′2π(r′l＋rl)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积思考1 类比圆柱侧面积的求法，你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么？答案 利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积.展开图如图，不难求得S直棱柱侧＝ch.
思考2 正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积？答案 正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到S正棱锥侧＝ ch′.
思考3 下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能依据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？答案 S正棱台侧＝ n(a＋a′)h′＝ (c＋c′)h′.
梳理 棱柱、棱锥、棱台侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝c·hc—底面周长h—高正棱锥S正棱锥侧＝ c·h′c—底面周长h′—斜高
正棱台S正棱台侧＝ (c＋c′)·h′c、c′—上、下底面周长h′—斜高
[思考辨析 推断正误]1.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.( )2.多面体的表面积等于各个面的面积之和.( )3.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )×√×
题型探究
例1 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为多少.类型一 旋转体的侧面积(表面积)解答
反思与感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1 (1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为A.6π(4π＋3)B.8π(3π＋1)C.6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D.6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析答案√
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为A.1∶1 B.1∶2C.1∶3 D.1∶4解析答案√解析 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心.由于O1为PO2的中点，所以PA＝AB，O2B＝2O1A.又由于S圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧＝π·(O1A＋O2B)·AB，
类型二 多面体的侧面积(表面积)及应用例2 如图所示，已知六棱锥P -ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm.求六棱锥P -ABCDEF的表面积.解答
反思感悟 多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形.
跟踪训练2 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积.解答
类型三 组合体的侧面积(表面积)例3 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积.解答
反思与感悟 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响.(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
跟踪训练3 已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.解答
达标检测
1.一个圆锥的表面积为πa m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，12345答案解析√
12345答案解析√
233.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.451答案解析 设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.解析100π∴r＝2.故圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.
4.若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______.23451解析 设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，∵r∶R＝3∶8，∴r＝3，R＝8.S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π，则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.216π答案解析
5.正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积.解答23451
的相圆识求解.3.S关知柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).规律与方法
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相像
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