福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师2.3变量间的相互关系（一）、（二）问题提出1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.知识探究（一）：变量之间的相关关系思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.1.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系.2.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化.例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.练习1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有 ① ，是相关关系的有 ②③ .①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac;②光照时间和果树亩产量；③每亩施用肥料量和粮食产量.福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师


表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标中系描出样本数据对应的图形吗？ 思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？ 在平面
直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.思考4：观察散点图的大致
趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具上思考5：在有什么相关关系？面的散点图中，这些点散
布在从左下角右到上角的区域个对于两，变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一
般地相关如果两个变量成正，，那么这两个变量的变化
趋势：思考6如何？如果两个变量成
负相关，从整看上体这两个变量的化变趋势散何？其如点图有什么
特点？ 一个变量随另一个变量的变大而变
小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域思考7：你能列举一些生活中的变量成正相关
或负相关的实例吗?例2 以下是某
地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：画
房屋房屋面积面积
m22229.218.421.624.815.312.2m2
销售销售价格价格
（（万元元万501358011011170615））105135801101157061
出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负9. 福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师222相关.218.421.624.815.312.2
福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师知识探究（二）：散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.思考1：观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？思考2：以x轴


一组有试验表数据如下所示：现准备个下用函数中的一列近似地表示这些数据满足
的规律，其中最接近A( C )的一个是. y=log2x B. y=2x C. y=(x2－1)/2 D. y=2x－2问题提出1. 两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和
负量关的两个相关变相的散点图分别有什么
特关自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.正相点？的散点图中的点散
布在从左下角到右上角的区域，负点关的散点图中的相散布在从左
上角到右下角的区2 域. 观察人体的脂肪含量
百分比个相年龄的样本数据的散点图，这两和关变量成正相关.我们需
要进一步考虑量问题是，当人的年龄增加时，的内脂肪含体到底式以什么方是增加呢？对
此，我们从理论上作些研究.知识探究（
三）：样 思考1：一组回归直线本数据的平均数是样本数据的中
心图那么散点，中样本点的中心思何确定？它一定是散点图中的点吗？ 如考2：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是
xy
杂乱分布散，有些的点图中的点的分布
有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？这些点大致
分布在一条直线附近.思考3：对一组
具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几思考条？4：在样本数据的散点图中，能
否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线
？知识探究（
四）：回归方程 在
角坐标直系中，任何一条都直线有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有
线能相关关系的样本数性，如果据够求出它的归回方程，那么我们就可以比较具体、清楚地
了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总. 体进行估计福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师(,)
福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师练习2. 今


回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？ 整
体上最接近 思考2：对于
求回归直线方程思考，你有哪些想法？3：对一组
具有线样相关关系的性本数据：(x1，y1)，(x2)，y2)，…，(，n，ynx设其回归方
程可以用哪些数量关系abxy为来刻画各样本点与回归直线的接近程度.)(||2abxyyyyy？iiiiii其中，或可以用 思考4：为了从
整体上样映n个反本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系
来刻画比较合适？ 思考5：
nn
()()xxyyxynxy---
��
iiii
ii==11
根据有关数学原理分析，当 时，
baybx===-,
nn
222
()xxxnx--
��
ii
n
ii==11
2
ˆ
Qyy-=)(
�ii
总体 偏差 为小最，这样就得到了回归方程，这种求回归方程法叫的方做最小二
i=1
乘法.回归方程的a，中，b几何意义分别是什么？思考6：
利用计算器或计算机可求据年龄和人体得肪含量的样本数脂的回归方程为，
此由以我们可根龄一个人据年个预测其体内脂肪含的量分比百的归回若值.7人3某岁，则其体内脂肪含量的
百分比约为多少02？.9%练习
3.F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲过品产程中记录吨产量x(的)与相应的生产能
Y(吨标准煤)的耗几 x 3 4 5 6 组对照数据 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画
出上表数据的散点图； (2)请根
据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方Y=bx+a；程 (3)已知
该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归
方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参
考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5) 解：（1）如图福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师
福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师思考1：


44
22222
XY=6.56X+++==686435
由对照数据，计算得：
X=4.5
� ii� i
i=1i=1
66.544.53.566.563-��-
ˆ
ˆ
b===.70
ˆ
abXY=�=-= -所求53.05.47.05.3
2
1644.58688-�- ;
yx (3) =+ 350.70.
的回归方程为
y ,=�+=吨预测5370.350.7.0001
x =, 100
生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低6507093519..-=(吨)课
堂小结1.求
样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第
一步，计算y；，平均数x 第
二步，求；和，niiniiixyx121 第三步
，计1;)())((算221121xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii，第四步
2. 回归
，写出回归方程
ybxa.
方程，各样本数据惟一确定被样本点大致分布在对回归附近.直线同一个总体，不同的样本数据对应不
同的回归直线，所以回归直线也具有随机性. 3. 对于
任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方不程”如果这组数，据具有线，性相关关系
即不存在归回直线，那么所得的“回归方是程”没有实际因意义的.此样本数据，应对一组，
先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.课
后 作业 《习案》作业：二、二十三 .十四.福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高