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第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1.掌握向量的意义、表示方法以及有关概念. （重点）2.能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等.（重点）
同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具.其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的.成为理论后又反过来对其它学科起作用.比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系.
唉, 哪儿去了?嘻嘻!大笨猫!AB老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，如果猫由B向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量？ 向量的物理背景与概念
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大.
一、向量的定义既有大小，又有方向的量叫做向量.数量只有大小，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，不能比较大小.思考:时间,路程,功,速度,加速度是向量吗?为什么?
AB二、向量的表示方法有向线段 （起点、 ）(1)几何表示法： a ，b,(2)字母表示法：B（终点）A（起点） 方向、长度
问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说 法对吗？不对，①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
uuur
也就是向量的长度（或称模）. |AB|记作
AB
三、向量的有关概念1.向量的长度（模）：向量AB的大小,
2．两个特殊向量： 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？零向量---长度为0的向量叫做零向量，记作 0.P单位向量---长度等于1个单位的向量叫作单位向量.
例1.如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）.
AB解： 表示A地至B地的位移，且
uuur 200km .
AB�
AC表示A地至C地的位移，且
uuur 280km .
AC�
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记作：a = b abo.b aABCDDCBA四、向量间的关系
记作a ∥b ∥c规定：0与任一向量平行.问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？Ol .COC = cAOA = a OB = b B 平行向量又叫做共线向量
各向量的终点与直线l之间有什么关系？如：abc（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
ab
a
b
ab
问题2：两个向量是否可以比较大小？ 向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量 、 ， 或 ”这种说法是错误的.
uuuruuuruuur
OACBDO;==
uuuruuuruuur
OBDCEO;==
uuuruuuruuuruuurOAOBOCuuuruuuruuur、、方向相同长度相等
OCABEDFO.===
例2．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中 与 相等的向量. 解：
误.①向量 与 是共线向量，
uuur(×)(×)(×)(×)
uuur
则A、B、C、D 四点
CD
AB
必同一直线上；在②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等；④共线的向量，
若起点不同，则终点一定不同.
1.判断下列说法的正
△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：（1）与CM长度相等且共线的向量；（2）与ED相等的向量；
ABCDFEM解：（1）DE、BF、FB、FA、 AF、ED、MC（2）FB、AF、MC2.如图,D、E、F分别是
角ABC，求BC边上的中线形向量 的模 .
uuur|AD|uuur|AD|3=uuur答案:
AD
3.已知边长为2的等边三
零向量、单位向量的概念： 向量的概念:向量的表示方法：共线向量与平行向量的关系： 平行向量的定义： 相等向量的定义：
论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种
理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一
种宝贵品质。 ——加里宁
无
1.掌握向量的意义、表示方法以及有关概念. （重点）2.能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等.（重点）
同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具.其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的.成为理论后又反过来对其它学科起作用.比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系.
唉, 哪儿去了?嘻嘻!大笨猫!AB老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，如果猫由B向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量？ 向量的物理背景与概念
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大.
一、向量的定义既有大小，又有方向的量叫做向量.数量只有大小，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，不能比较大小.思考:时间,路程,功,速度,加速度是向量吗?为什么?
AB二、向量的表示方法有向线段 （起点、 ）(1)几何表示法： a ，b,(2)字母表示法：B（终点）A（起点） 方向、长度
问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说 法对吗？不对，①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
uuur
也就是向量的长度（或称模）. |AB|记作
AB
三、向量的有关概念1.向量的长度（模）：向量AB的大小,
2．两个特殊向量： 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？零向量---长度为0的向量叫做零向量，记作 0.P单位向量---长度等于1个单位的向量叫作单位向量.
例1.如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）.
AB解： 表示A地至B地的位移，且
uuur 200km .
AB�
AC表示A地至C地的位移，且
uuur 280km .
AC�
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记作：a = b abo.b aABCDDCBA四、向量间的关系
记作a ∥b ∥c规定：0与任一向量平行.问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？Ol .COC = cAOA = a OB = b B 平行向量又叫做共线向量
各向量的终点与直线l之间有什么关系？如：abc（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
ab
a
b
ab
问题2：两个向量是否可以比较大小？ 向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量 、 ， 或 ”这种说法是错误的.
uuuruuuruuur
OACBDO;==
uuuruuuruuur
OBDCEO;==
uuuruuuruuuruuurOAOBOCuuuruuuruuur、、方向相同长度相等
OCABEDFO.===
例2．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中 与 相等的向量. 解：
误.①向量 与 是共线向量，
uuur(×)(×)(×)(×)
uuur
则A、B、C、D 四点
CD
AB
必同一直线上；在②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等；④共线的向量，
若起点不同，则终点一定不同.
1.判断下列说法的正
△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：（1）与CM长度相等且共线的向量；（2）与ED相等的向量；
ABCDFEM解：（1）DE、BF、FB、FA、 AF、ED、MC（2）FB、AF、MC2.如图,D、E、F分别是
角ABC，求BC边上的中线形向量 的模 .
uuur|AD|uuur|AD|3=uuur答案:
AD
3.已知边长为2的等边三
零向量、单位向量的概念： 向量的概念:向量的表示方法：共线向量与平行向量的关系： 平行向量的定义： 相等向量的定义：
论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种
理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一
种宝贵品质。 ——加里宁
无
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