3.2 简单的三角恒等变换（一）


1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角正弦、余弦、正切公式；2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换； (重、难点）3.通过三角恒等变换的训练，培养转化与化归的数学思想.


sin()sincoscoscos
nos()coscossinsic1.两角和差的正弦、余弦、正切公式
tantan
tan()
1tantan


sin22sincos
22
nos2cossic
2
os12c
2
sin12
2tan
tan2
2
1tan
2.二倍角正弦、余弦、正切公式


学习了和(差)角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提供了新的平台.


aa
aa与有什么关系？那么能osc用的三角函数
22
表示出来吗？222
aaa
反之，能用表c,tanosc,nsios示a吗？
222


a
解：Q是a的二倍角n二倍角公式的变形22cos12si，.21cossin=.22a\a=-a-a即
2
2221.cossin,cos,tan.222aaaa例试以表示


a
2
由，c2cos1so得a-=
2
aacos1+
2
cos.=
22
aacos1-
2
\即an=.t
21cos+a


aa，2
21cossin=22-
:降幂aa公式说明升从左到右降幂扩角，从.到左升幂缩角.也称为降幂公式右幂osc1+
cos.=
22


aa
aa
aa
a例1的结果还可以表示为：并称之为半角公式.符号由 所在象限决定.2
a
1cossin,221coscos,221costan,21cos-=�+=�-=�+


思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换． 对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．


4pqqq
例nsin,si.,cos,tan2已知且，qqp试<=<求的值.
52222
分析：先求的soc值q，再利用倍角公式的变形公式
求半角的三角函数值.
4p
解：Q，in,spqq<<=
52
3
2
---=\=c.nsi1soqq
5
pqp
\<<.
422


qq
q
qqos11c+
2
cos.==
225
=qsin2tan2.2cos2=5
cos.=
25
q
q
q
21cos4sin.22525sin.25-\===


例3.求证：
1
（1）ncnsin;ossisibababa++=-��
()()
��
2
qjqj+-
（2的么什有上式形构结边两右左不同）这两个式子？sinsi.oscnsi2nqj+=
22
和角公式的变形


证明：(1)Q，sosoincncsinissbaabab+=+
()
，加相别分边两右左的式两上以将 得snsincosco.nsisiababab-=-
()
.nsin=2sincossiababab++-
()()
1
即ncossinsin.siaababb++-=��
()()
��
2


sinsin2sincosababab++-=
()()
jabqab设+=-=,
qjqj+-
ba ==那么把 的值代入上式中得,
22
ab,
qjqj+-
sinsin2sincos.qj+=
22
（２）由(1)得：


三角变换，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”——看角、看函数名称、看式子结构.


qjqjqjqj
qj---令，利用和差角公式展开，仿照（1）求解.思考：
1. 在例2证明过程中，如果不用（1）的结果， 如何证明（2）？++=+=.2222


换元的思想，如把baqbaj看+作，把看作，-
从而把含有jabq，的三角函数式变换成，的
三角函数式.
2.在例2的证明中，用到哪种数学思想？


aaa
a
a
a
aa
a
a
a-+=-=�=+-下列各式恒成立的是（ ）. A.= B. C.D.B
221.1cos1cos2tancos2sin22tan1cos2tantan1cos21tan2


,.(20122sin1cos2�=+济南高一检测)已知qq
q
C
则等tan于（）.
2
11
. A.2 B. C 或不存在 D.不存在
22
q
当+cos0tan1时，不q存=在；
2
qqq
sinsincos�
q
222
当aos0tcn1时�==+，解：q
qqq
2
coscoscos�
222
qq
2sincos�
sin1q
22
===.
qq
12+cosq
2coscos�
22


1cos2+x
3..化简
1x
-tan
x
2
tan
2
2
2cosx
解：原式=
xx
22
cossin-
22
xx
sincos
22
2
2cossin1xx
==n2.six
2cos2x


n2sincos1ta1--xxx
4..求证: =
22
nossin1tacxxx-+
22
osncos2sincsixxxx+-
证明：左边=
22
cossinxx-
2
nsincos)cossi(xxxx--
==
scossin)(cossin)sinco(xxxxxx+-+
1tan-x
==右边
1tan+x


aa，21coscos.22+=
21cossin=22-
aa1.降幂公式2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.4.换元思想.3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构.


不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的。——贝尔奈