3.2 简单的三角恒等变换第一课时


t
5730
1
��
p=
��
2
��1.两角和与差及二倍角的三角函数公式分别是什么？sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
m
antant
ant(cβnos(α±β)＝cosαcosβ sinαsi )
1antnta
问题提出


2tan
tan2＝sin2α2sinαcosα
2
1tan
2222tanntantanta
nttanntatana2222
2222
1111anatntanatnt
2tan
tan2
2
1tan
cos2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α；


2.三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等.有了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了很好的平台.在实际应用中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解公式的变式运用，做到活用公式，用活公式.


3.代数式变换与三角变换的区别在于：代数式变换主要是对代数式的结构形式进行变换；三角变换一般先寻找三角式包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行变换，其中有两个变换原理是需要我们了解的.





{方程思想
探究（一）：异角和积互化原理 思考1：对于sinαcosβ和cosαsinβ，二者相加、相减分别等于什么？思考2：记sinαcosβ＝x，cosαsinβ＝y，利用什么数学思想可求出x、y？x+y＝sin(α+β) x-y＝sin(α-β)


1
snicso什的右变换功到能是左从？点什么个特这两的等式左右两边么结构有？(sin)ins()
2
1
)ossinsin()sin(cababab=+--
[]
2
左边是积右边是和差，从左到右积化和差.思考3：由上述分析可知




qjqj+-
sinsin2sincosqj+=
22
qjqj+-
sinsin2cossinqj等=思考5：这两个-式左右两边的结构有什么特点？从左到右的变换功能是什么？
22
思考4令 ， ，并交换等式两边的式子可得什么结论？


1
)oscoscos()cos(cababab=++-
[]
2
1
)insincos()cos(sababab=-+--
[]
2
思考6：参照上述分析，cosαcosβ，sinαsinβ分别等于什么？其变换功能如何？


qjqj+-
coscos2coscosqj+=
22
qjqj+-
noscos2sinsicqj-=-
22
思考7：cosθ＋cosφ，cosθ－cosφ分别等于什么？其变换功能如何？


思考8：上述关系表明，两个不同的三角函数的和（差）与积是可以相互转化的，但转化是有条件的，其中和差化积的转化条件是什么？ 两个角的函数同名


13
oo
sin20cos20,-
22
13
oosin(20°-60°)sin(30°-20°)
cos20sin20-
22
探究（二）：同角和差合成原理思考1：sin20°cos30°＋cos20°sin30°可合成为哪个三角函数？sin(20°+30°)=sin50°思考2：可分别合成为哪个三角函数？


cos3sinxx+
sincos,xx-
p
)incos2sin(sxxx-=-
4
p
cos3sin2sin()xxx =+思考4： + 可合成为哪个三角函数？
6
pp
)sin()cos(3xx+-+
33
pp
2sin[()]x+-
36
思考3：可分别合成为哪个三角函数？


axbxossinc+
22
xaxbxabis()socnins+=++q
b
tanq=其中
a
思考5：一般地， 可合成为一个什么形式的三角函数？


22
sinsinab-
sincossincosaabbctan(α＋β)例2 已知-osx＝cosαcosβ，求证： 2tantantan222
xxaab+-=
理论迁移例1 化简


yxx=+ossin3c
例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α,求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.O ABP QCDα例3 求函数 的周期，最大值和最小值？


体公式不要求记
忆，但要明确变其换思想，会
在实际问题中灵活运用.2.
明“确思起维，点把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式
”是三角变换的基本要
决.
小结作业1.异角和积互化原理与同角和差合成原理，是三角变换的两个基本原理，具


yba=+socnisqq
yxAP341=+作业：习nisjw
()
后得可使问题，到简化，这是一
种化归思想.
yxA式的形 对=+3. 形如 的函数，转化为 nisjw
()
题3.2A组(1(5)(6)(7)：8) ，2，3，4，5.