福建数学网www.fjmath.com 一站式资源服务 QQ群2900872733.2 简单的三角恒等变换整体设计教学分析 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课 思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.


a有什么关系?②如何建立cosα与sin2
2
a之间的关系？③sin2
2
a=
1c2s，ocsoaa=1ta2，noscaa=1？这三个式子有什么共同特点④通过上面的三个问题，cosa
2
22221cosa
你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同⑤?吗证明(1)sinαcosβ=
1[sin(α+β)+sin(α-β)];(2)sinθ+sinφ=2sin
2
.并
cos
22
观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？ 活
a,将公式中的α用a代替,解出sin2
动：教师的导学生联想关于余弦引二倍角公式cosα=1-2sin2
22
a即s2的二倍角.在倍角公式coaα=1-2sin2α中,以α代
可.教师对学生的讨论提行进问，学生可以发现：α是
22
a代,a所以sin2
替2α,以替α,即得cosα=1-2sin2
22
=a1 α. ①在倍角公式cos2α=2cos2α-1中,以代osca
22
a代
替2α,以替α,即得cosα=2cos2
2
a-1,所以cos2
2
=a1①②. ②将两osca
22
个等式的左右两边分别相即除,得tan2
=a1 ③. 教ocsa
21cosa
师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数
表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由
左式的“二次转化为式”右式的“一次即式”(用此式可达“降次到”的目的).教
师与学生一起总结出这样并的特点,告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引
a=±
1cs,ocosa
起注意.同时还要结调,强本例的果还可表示为:sin
22
a=±a±=a所在象
1tn,acosa1并,scoa
称之为半角公式(不要求记忆),符号由
2221cosa2
限决定. 教
师引导学生通过这两同换共种变讨论归纳构出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结得形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的
福建数学网www.fjmath.com 一站式资源服务 QQ群290087273推进新课新知探究提出问题①α与


果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左
式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两点角式个三形式上的不同结构作，考的出发点为思引导学生思考，
哪含公式包些sinαcosβ呢(α+想到sin？β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角
度看分sinαc这个等式，sβ，cosαsinβo别看成两个未二元方程要求得知数.确定解，必须，2个方程有这就促使学生考虑还有
没有其他si含包nαcosβ的公式，列sin(α-β)=sinαcosβ-出cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为
未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结
果.（2）由（1）得到以和的形式
示表解积的形式后的，决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）
没有什么区别.只需做个变换，=α+β令θ，α-β=φ，则α=
β，=,代入(1)式
即式(2)得.证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,将以上
22
两式的左右两边分别)=,得sin(α+β)+sin(α-β相加2sinαcosβ,即sinαcosβ=
1[sin(α+β)+sin(α-β)].(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.
2
①设α+β=θ,α-β=φ,那
=,β.把α,β的值代入①,即
么α=
22
sco. 教
得sinθ+sinφ=2sin
22
师给学生适时引导，指出这两程所用到的数学思想个方,可以总含在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包结出α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式
看作x,y的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论
a的二倍角.②sin2
结果：①α是
2
s=1-coa1(略.③④⑤见soca
22
活动）.应用
示例思路1例1 化简:
1 .活nisxoscx
.
1snixcosx
动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的
区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.
福建数学网www.fjmath.com 一站式资源服务 QQ群290087273差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于问题⑤：（1）如


xxxxxx
2
2sinn=ta2nisocs2snisn(isoc)
x. 点
222222

式=
xxxxxx
2
2
2soc2niscso2socso(cnis)
222222
评：本题是对基本知识的考查，重在让练.变式训学生理解倍角公式与半角公式的内在联系 化简:sin50°(1+
解:原
3tan10°).
13

2(soc01nis01)

°=sin50式3sin10
22
1=°05nsi2·nis05

cos01sco10

nis03soc01=2cos40°·soc03nis01

cos10

nis04nis08soc01
==1.例2 已知sinx-cosx

soc01soc01soc01
1,求sin3x-cos3x的值. 活
2
动：教师用导学生利引立方差公式进行对公式变换化简，然后再=解.由于(a-b)3求a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),a
解3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).∴完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx与sinx±cosx之间的转化.提
升整生的运算.化简能力及学体代换思想.本题也可
11.此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题之中.解:由sinx-cosx=
直接应用上述式公求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=
16
=,得(sinx-cosx)211,即1-2sinxcosx=
24
1,sinxcosx=(si.∴sin3x-cos3x=3nx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=
∴
48
1(1+3)=11. 点
2816
评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意式.变公式的灵活运用和化简的方法训练 (2007年
,且1≤θ≤3θ,则cos2的值是______________.答
高考 ,12) 浙江卷已知sinθ+cosθ=
524
7
例1 已知
案:
25
4444
oscAsinAcosBnisB
1活 求证. :1
2222
oscBsinBcosAnisA
动：此题可从多个角度进行探究,由于所给一条件的式与所要证明的等式形式等致,只是将A,B的
位置互换了,因此应从所给的条件等式入而条件等式中含有,手A,B角的正、余弦,可利用平方关系来
减少函数的种类.从结构上,已知条件是a2看+b2=1的形式,可利用三角代换.
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44
cos+co.A,∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos0B.∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B,cos4A-cos2B(